1996 · 数学一 · 第 21 题 · 填空题

设

ξ, η

是两个相互独立且均服从正态分布

N (0, (\frac{1}{2})^{2})

的随机变量，则随机变量

∣ ξ - η ∣

的数学期望

E (∣ ξ - η ∣) =

。

答案

$\frac{2}{π}$

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由独立性， $ξ - η$ 仍服从正态分布，其均值为 $0$ ，方差为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ ，故 $ξ - η \sim N (0, 1)$ 。

若 $Z \sim N (0, 1)$ ，则

E ∣ Z ∣ = 2 \int_{0}^{\infty} z \frac{1}{2 π} e^{- \frac{z ^{2}}{2}} d z = \frac{2}{π} .

因此所求期望为 $\frac{2}{π}$ 。