令 $\mu =a-\lambda$，按第一行展开，得

故特征值为 $a-1$（二重）和 $a+2$。
对 $a-1$，特征方程等价于 $x_1+x_2-x_3=0$，取基础解系 ${\alpha }_1=(-1,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(1,0,1{)}^T$。二者内积为 $-1$，先正交化：

对 $a+2$，$(A-(a+2)E)x=0$ 的第一式加第二式的 $2$ 倍，得 $x_2=-x_3$，再代入第二式得 $x_1=-x_3$，取 ${\alpha }_3=(1,1,-1{)}^T$。
将 $(-1,1,0{)}^T,(1,1,2{)}^T,(1,1,-1{)}^T$ 分别除以 $\sqrt{2},\sqrt{6},\sqrt{3}$，得到三个单位正交向量 $p_1,p_2,p_3$。取 $P=(p_1,p_2,p_3)$，便有 $P^{T}P=E$ 和 $P^{T}AP=\mathrm{diag}(a-1,a-1,a+2)$。

记 $B=(a+3)E-A$。由第（1）问的正交对角化，

三个特征值全正，故 $B$ 正定。取正平方根，令 $C=P\mathrm{diag}(2,2,1)P^T$。它实对称，特征值为 $2,2,1$，故正定；又因 $P^{T}P=E$，有 $C^2=P\mathrm{diag}(4,4,1)P^T=B$。
将其写成显式矩阵。由 $p_1{p}_1^T+p_2{p}_2^T+p_3{p}_3^T=E$，得

直接平方可得 $C^2=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ -1& 3& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right)=(a+3)E-A$。这里必须取正平方根，取负的分支虽然可能满足平方等式，却不满足正定要求。