（1）建立递推。记题给 $n$ 阶行列式为 $D_n$，并将同类一阶行列式记为 $D_1=2$。对 $n\ge 2$，第一行只有首、末两个非零元素，均为 $2$。按第一行展开，

$$D_n=2M_{11}+2(-1{)}^{n+1}{M}_{1n}.$$

划去第一行、第一列后，得到的行列式仍具有相同结构，故 $M_{11}=D_{n-1}$。划去第一行、末列后，原次对角线上的 $-1$ 成为新主对角元，原主对角线上的 $2$ 位于其上方，所得行列式为上三角形，所以 $M_{1n}=(-1{)}^{n-1}$。因此

$$D_n=2D_{n-1}+2(-1{)}^{n+1}(-1{)}^{n-1}=2D_{n-1}+2.$$

（2）求解递推。两边加 $2$，得 $D_n+2=2(D_{n-1}+2)$。数列 $\{D_n+2\}$ 为公比 $2$、首项 $D_1+2=4$ 的等比数列，故

$$D_n+2=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1},D_n=2^{n+1}-2.$$

例如 $D_2=\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ -1& 2\end{array}\right|=6$，$D_3=2D_2+2=14$，分别与公式 $2^3-2$、$2^4-2$ 相符。递推中的正号来自余子式符号与上三角行列式符号的乘积，不能只保留其中一个。