2005 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

在定义域 $x y \neq = 0$ 上令 $u = \frac{y}{x}$ 、 $v = \frac{x}{y}$ 。直接求导得

g_{x} g_{xx} = f^{'} (v) - \frac{y}{x ^{2}} f^{'} (u), = \frac{1}{y} f^{''} (v) + \frac{2 y}{x ^{3}} f^{'} (u) + \frac{y ^{2}}{x ^{4}} f^{''} (u) .

同理

g_{y} g_{y y} = \frac{1}{x} f^{'} (u) + f (v) - \frac{x}{y} f^{'} (v), = \frac{1}{x ^{2}} f^{''} (u) + \frac{x ^{2}}{y ^{3}} f^{''} (v) .

于是

x^{2} g_{xx} y^{2} g_{y y} = \frac{x ^{2}}{y} f^{''} (v) + \frac{2 y}{x} f^{'} (u) + \frac{y ^{2}}{x ^{2}} f^{''} (u), = \frac{y ^{2}}{x ^{2}} f^{''} (u) + \frac{x ^{2}}{y} f^{''} (v) .

相减后得到

x^{2} \frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} - y^{2} \frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}} = 2 \frac{y}{x} f^{'} (\frac{y}{x}) .

答案