2020 · 数学一 · 第 21 题 · 解答题

设

A

为

2

阶矩阵，

P = (α, A α)

，其中

α

是非零向量且不是

A

的特征向量。

(1) 证明 $P$ 为可逆矩阵；
(2) 若 $A^{2} α + A α - 6 α = 0$ ，求 $P^{- 1} A P$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵。

答案

第 1 问

$P$ 为可逆矩阵。

第 2 问

$P^{- 1} A P = (01 6 - 1)$ ，且 $A$ 相似于 $diag (2, - 3)$ 。

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第 1 问

若 $P$ 不可逆，则其两列线性相关，存在不全为零的 $k_{1}, k_{2}$ 使 $k_{1} α + k_{2} A α = 0$ 。若 $k_{2} = 0$ ，由 $α \neq = 0$ 得 $k_{1} = 0$ ，矛盾，所以 $k_{2} \neq = 0$ 。
于是 $A α = - \frac{k _{1}}{k _{2}} α$ ，这表明非零向量 $α$ 是 $A$ 的特征向量，与题设矛盾。故 $P$ 的两列线性无关， $P$ 可逆。

第 2 问

由条件得 $A^{2} α = 6 α - A α$ 。将 $A P$ 的各列在基 $α, A α$ 下表示，得到

A P = (A α, A^{2} α) = (α, A α) (01 6 - 1) .

由第一问 $P$ 可逆，故 $P^{- 1} A P = C = (01 6 - 1)$ 。计算

∣ λ E - C ∣ = λ (λ + 1) - 6 = (λ - 2) (λ + 3) .

所以 $C$ 有两个互不相同的特征值 $2, - 3$ ，可以相似对角化。 $A$ 与 $C$ 相似，也具有这两个不同特征值，故 $A$ 相似于 $diag (2, - 3)$ 。这里先建立相似关系，无须由只作用于一个向量的等式直接断言矩阵恒等式。