分母分解为 $(x-1)(x-3)$，两个零点都不在 $[5,+\infty )$ 上。作部分分式分解：

$$\frac{1}{x^2-4x+3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}\right).$$

对 $b>5$，先在有限区间积分并合并对数：

$$\begin{array}{rl}{\int }_5^b\frac{dx}{x^2-4x+3}& =\frac{1}{2}{\left[\ln \frac{x-3}{x-1}\right]}_5^b\\ & =\frac{1}{2}\ln \frac{b-3}{b-1}-\frac{1}{2}\ln \frac{2}{4}.\end{array}$$

令 $b\to +\infty$，$\frac{(b-3)}{(b-1)}\to 1$，故原积分等于 $\frac{1}{2}\ln 2$。不能把两个分别发散的对数积分拆开取极限。