由 $A$ 正交，列向量满足 ${\alpha }_i^T{\alpha }_j={\delta }_{ij}$，其中 ${\delta }_{ij}$ 在 $i=j$ 时为 $1$，否则为 $0$。$B$ 的三行线性无关，故 $r(B)=3$，齐次方程 $Bx=0$ 的解空间维数为 $4-3=1$。
由于 $B{\alpha }_4=0$ 且 ${\alpha }_4$ 是非零单位向量，它构成齐次方程的基础解系。又令 $\eta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$，由标准正交关系知 $B\eta =(1,1,1{)}^T=\beta$，故 $\eta$ 是一个特解。
因此全部解为 $x={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+k{\alpha }_4$，其中 $k\in \mathbb{R}$，选 D。
其余三项中的自由方向分别为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$，而 $B{\alpha }_1=(1,0,0{)}^T,B{\alpha }_2=(0,1,0{)}^T,B{\alpha }_3=(0,0,1{)}^T$，均非零，所以参数任意变化时不能始终保持 $Bx=\beta$，均不是通解。