记 $s={\xi }^T\xi$。直接展开得

因而 $A^2-A=(s-1)\xi {\xi }^T$。

由于 $\xi \ne 0$，矩阵 $\xi {\xi }^T\ne 0$。所以 $A^2=A$ 当且仅当 $s-1=0$，即 ${\xi }^T\xi =1$。

当 ${\xi }^T\xi =1$ 时，

因 $\xi \ne 0$，齐次方程 $Ax=0$ 有非零解，所以 $A$ 不可逆。