1994 · 数学三 · 第 4 题 · 填空题

设

A = 00 ⋮ 0 a_{n} a_{1} 0 ⋮ 00 0 a_{2} ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ a_{n - 1} 0

，其中

a_{i} \neq = 0, i = 1, 2, \dots, n

，则

A^{- 1} =

。

答案

$0 \frac{1}{a _{1}} 0 ⋮ 0 00 \frac{1}{a _{2}} ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots 000 ⋮ \frac{1}{a _{n - 1}} \frac{1}{a _{n}} 00 ⋮ 0$

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记 $X = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}$ 、 $Y = (y_{1}, \dots, y_{n})^{T}$ 。令 $A X = Y$ 。由矩阵的非零元位置可知

y_{i} = a_{i} x_{i + 1} (1 \leq i \leq n - 1), y_{n} = a_{n} x_{1} .

因为各 $a_{i} \neq = 0$ ，反解得

x_{1} = \frac{y _{n}}{a _{n}}, x_{i + 1} = \frac{y _{i}}{a _{i}} (1 \leq i \leq n - 1) .

因此 $A^{- 1}$ 的非零元恰为

(A^{- 1})_{1 n} = \frac{1}{a _{n}}, (A^{- 1})_{i + 1, i} = \frac{1}{a _{i}} (1 \leq i \leq n - 1),

其余元素均为零。