2010 · 数学一 · 第 5 题 · 选择题

设

A

为

m \times n

矩阵，

B

为

n \times m

矩阵，

E

为

m

阶单位矩阵，若

A B = E

，则（　　）。

A
秩 $r (A) = m$ ，秩 $r (B) = m$
正确答案
B
秩 $r (A) = m$ ，秩 $r (B) = n$
C
秩 $r (A) = n$ ，秩 $r (B) = m$
D
秩 $r (A) = n$ ，秩 $r (B) = n$

答案

解析

由 $A B = E_{m}$ ，得 $r (A B) = m$ 。矩阵乘积的秩不大于各因子的秩，因此 $r (A) \geq m$ 、 $r (B) \geq m$ 。另一方面， $A$ 只有 $m$ 行， $B$ 只有 $m$ 列，所以 $r (A) \leq m$ 、 $r (B) \leq m$ 。两侧夹逼得到 $r (A) = r (B) = m$ ，选 A。

条件只能推出 $m \leq n$ ，不能推出 $m = n$ 。例如取 $m = 1, n = 2$ ， $A = (1, 0)$ 、 $B = (1, 0)^{T}$ ，则 $A B = E_{1}$ ，而 $r (A) = r (B) = 1 \neq = n$ ，所以 B、C、D 均不恒成立。此时 $B A = diag (1, 0) \neq = E_{2}$ ，也说明非方阵不能直接从 $A B = E$ 推出 $B A = E$ 。