2000 · 数学一 · 第 20 题 · 解答题

某流水生产线上每个产品不合格的概率为

p

（

0 < p < 1

），各产品合格与否相互独立。当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产产品的个数为

X

。完成下列各问：

答案

$E (X) = \frac{1}{p}$

$D (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}}$

首次停机前生产了 $k$ 个产品，表示前 $k - 1$ 个合格、第 $k$ 个不合格。因此

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, k = 1, 2, \dots .

所以 $X$ 服从以 $p$ 为参数、从 $1$ 开始计数的几何分布，故

E (X) = \frac{1}{p} .

由第一问可知 $X$ 服从几何分布且 $E (X) = \frac{1}{p}$ ，故由其二阶矩，

E (X^{2}) = \frac{2 - p}{p ^{2}} .

因此

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = \frac{2 - p}{p ^{2}} - \frac{1}{p ^{2}} = \frac{1 - p}{p ^{2}} .