令 $f(x)=x^5-5x+k$。求导得 $f^{\prime }(x)=5(x^2-1)(x^2+1)$，故 $f$ 在 $(-\infty ,-1]$ 上严格递增，在 $[-1,1]$ 上严格递减，在 $[1,+\infty )$ 上严格递增。极大值为 $f(-1)=k+4$，极小值为 $f(1)=k-4$，且 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$。
（1）若 $-4<k<4$，则 $f(-1)>0>f(1)$。由连续性和各段严格单调性，三个开区间 $(-\infty ,-1)$、$(-1,1)$、$(1,+\infty )$ 内各有且仅有一个零点，故有三个不同实根。
（2）若 $k=-4$，则 $f(-1)=0$、$f(1)=-8$，零点为 $-1$ 及 $(1,+\infty )$ 内的唯一一点，共两个不同实根。若 $k=4$，同理有 $1$ 及 $(-\infty ,-1)$ 内的唯一零点，共两个不同实根。
（3）若 $k<-4$，极大值也小于零，$(-\infty ,1]$ 上无零点，仅 $(1,+\infty )$ 内有一个零点；若 $k>4$，极小值也大于零，同理仅 $(-\infty ,-1)$ 内有一个零点。
因此恰有三个不同实根的充要条件为 $-4<k<4$，选 D。A、B 对应一个实根，C 中的两个参数值各对应两个不同实根。

分离参数得 $k=\psi (x)=5x-x^5$，实根个数等于水平线 $y=k$ 与 $y=\psi (x)$ 的交点数。由 ${\psi }^{\prime }(x)=5(1-x^4)$，函数依次在 $(-\infty ,-1]$、$[-1,1]$、$[1,+\infty )$ 上严格递减、递增、递减，极小值 $\psi (-1)=-4$，极大值 $\psi (1)=4$；两端极限分别为 $+\infty$、$-\infty$。
结合连续性，水平线与三段各有一个不同交点当且仅当 $-4<k<4$。当 $k=\pm 4$ 时，相邻两段在同一极值点相交，该点只能计一次，所以仅有两个不同交点；当 $|k|>4$ 时仅有一个交点。因此选 D。