1998 · 数学二 · 第 13 题 · 解答题

给定微分方程

y^{''} cos x - 2 y^{'} sin x + 3 y cos x = e^{x}

，作代换

y = \frac{u}{cos x}

。

(1) 写出代换后化简所得的微分方程；
(2) 求原方程的通解。

答案

第 1 问

$u^{''} + 4 u = e^{x}$

第 2 问

$y = \frac{C _{1} cos 2 x + C _{2} sin 2 x + \frac{1}{5} e ^{x}}{cos x}$ ，其中 $cos x \neq = 0$

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第 1 问

在 $cos x \neq = 0$ 的区间上，

y^{'} = sec x (u^{'} + u tan x),

y^{''} = sec x [u^{''} + 2 u^{'} tan x + u (sec^{2} x + tan^{2} x)] .

代入原方程后，一阶导数项抵消，并利用 $sec^{2} x - tan^{2} x = 1$ ，左端化为 $u^{''} + 4 u$ 。故代换后的方程为

u^{''} + 4 u = e^{x} .

第 2 问

由第一问，变换后的方程为 $u^{''} + 4 u = e^{x}$ 。齐次方程 $u^{''} + 4 u = 0$ 的通解为 $C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x$ 。设特解为 $u_{p} = A e^{x}$ ，代入得 $5 A = 1$ ，故 $A = \frac{1}{5}$ 。

于是

u = C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x + \frac{1}{5} e^{x},

从而原方程在任一不穿过 $cos x = 0$ 的区间上的通解为

y = \frac{C _{1} cos 2 x + C _{2} sin 2 x + \frac{1}{5} e ^{x}}{cos x} .