1993 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

设线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + k x_{3} = 4 - x_{1} + k x_{2} + x_{3} = k^{2} x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = - 4

。

(1) 求方程组有唯一解时 $k$ 的取值；
(2) 求方程组无解时 $k$ 的取值；
(3) 求方程组有无穷多组解时 $k$ 的取值；
(4) 在所有有解情形下，求出方程组的全部解。

答案

第 1 问

$k \neq = - 1, 4$

第 2 问

$k = - 1$

第 3 问

$k = 4$

第 4 问

$k \neq = - 1, 4 : (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (\frac{k ( k + 2 )}{k + 1}, \frac{k ^{2} + 2 k + 4}{k + 1}, - \frac{2 k}{k + 1}); k = 4 : (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (- 3 t, 4 - t, t), t \in R$

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第 1 问

系数行列式为

D = 1 - 1 1 1 k - 1 k 12 = - k^{2} + 3 k + 4 = (4 - k) (k + 1) .

因此当且仅当 $k \neq = - 1, 4$ 时方程组有唯一解。

第 2 问

当 $k = - 1$ 时，前两式的左端互为相反数，但右端分别为 $4$ 和 $1$ ，不相容，故方程组无解。

第 3 问

当 $k = 4$ 时，原方程组等价于两个独立约束

x_{2} + x_{3} x_{1} + 3 x_{3} = 4, = 0.

其中第一个由原前两式相加得到，代回第一式得到第二个，且第三式随之成立。因此系数矩阵与增广矩阵的秩都为 $2$ ，三个未知数中有一个自由变量，故有无穷多组解。结合前两问可知，有无穷多组解恰在 $k = 4$ 时成立。

第 4 问

前两式相加，并用第三式减第一式，可得

(k + 1) (x_{2} + x_{3}) = k^{2} + 4, 2 x_{2} + (k - 2) x_{3} = 8.

当 $k \neq = - 1, 4$ 时解得

x_{3} = - \frac{2 k}{k + 1}, x_{2} = \frac{k ^{2} + 2 k + 4}{k + 1}, x_{1} = \frac{k ( k + 2 )}{k + 1} .

当 $k = 4$ 时令 $x_{3} = t$ ，则 $x_{2} = 4 - t$ 、 $x_{1} = - 3 t$ ，其中 $t$ 为任意实数。 $k = - 1$ 时无解，故以上已列出所有有解情形。