1992 · 数学一 · 第 16 题 · 解答题

设

f^{''} (x) < 0

，

f (0) = 0

。证明对任何

x_{1} > 0, x_{2} > 0

，有

f (x_{1} + x_{2}) < f (x_{1}) + f (x_{2})

。

答案

证明见解析

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由 $f^{''} (x) < 0$ 及拉格朗日中值定理， $f^{'} (x)$ 严格递减。固定 $x_{1} > 0$ ，令

g (t) = f (t + x_{1}) - f (t) (t \geq 0) .

有

g^{'} (t) = f^{'} (t + x_{1}) - f^{'} (t) < 0,

故 $g$ 在 $[0, + \infty)$ 上严格递减。对 $x_{2} > 0$ ，

g (x_{2}) < g (0) = f (x_{1}) - f (0) = f (x_{1}) .

即 $f (x_{1} + x_{2}) - f (x_{2}) < f (x_{1})$ ，从而

f (x_{1} + x_{2}) < f (x_{1}) + f (x_{2}) .