因 $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$，有 $f(x)=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+1}\right)$。令 $t=x-1$，则 $x-4=t-3$、$x+1=t+2$。

分别展开得 $\frac{1}{t-3}=-\frac{1}{3}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{t}{3}\right)}^n$（$|t|<3$），以及 $\frac{1}{t+2}=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-\frac{t}{2}\right)}^n$（$|t|<2$）。

代回并整理，得到

两级数共同收敛要求 $|x-1|<2$，即 $-1<x<3$。在两个端点处第二个几何级数的通项不趋于零，故端点均不收敛。