1993 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

设某产品的成本函数为

C = a q^{2} + b q + c

，需求函数为

q = \frac{1}{e} (d - p)

，其中

C

为成本，

q

为需求量（即产量），

p

为单价，

a, b, c, d, e

都是正常数，且

d > b

。

答案

$q = \frac{d - b}{2 ( a + e )}$

$\frac{( d - b ) ^{2}}{4 ( a + e )} - c$

$E_{p} = - \frac{p}{d - p} = - \frac{p}{e q}$

$q = \frac{d}{2 e}$

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由需求函数得 $p = d - e q$ 。利润为

L (q) = pq - C = - (a + e) q^{2} + (d - b) q - c .

因 $a + e > 0$ ，该二次函数开口向下；又 $d > b$ ，其在非负产量范围内的唯一最大点为 $q = \frac{d - b}{2 ( a + e )}$ 。

由第一问，将最优产量代入利润函数，或将二次式配方，得到

L_{m a x} = \frac{( d - b ) ^{2}}{4 ( a + e )} - c .

由 $q = \frac{( d - p )}{e}$ 得 $\frac{d q}{d p} = - \frac{1}{e}$ 。故需求对价格的点弹性为

E_{p} = \frac{d q}{d p} \frac{p}{q} = - \frac{p}{e q} = - \frac{p}{d - p} .

由第三问的需求价格弹性公式，在有正需求量的价格范围 $0 < p < d$ 内， $∣ E_{p} ∣ = \frac{p}{d - p}$ 。令其等于 $1$ ，得 $p = \frac{d}{2}$ 。

代入需求函数，所求产量为 $q = \frac{d - \frac{d}{2}}{e} = \frac{d}{2 e}$ 。