2021 · 数学一 · 第 6 题 · 选择题

已知

α_{1} = 101, α_{2} = 121, α_{3} = 312

，记

β_{1} = α_{1}

，

β_{2} = α_{2} - k β_{1}

，

β_{3} = α_{3} - l_{1} β_{1} - l_{2} β_{2}

。若

β_{1}, β_{2}, β_{3}

两两正交，则

l_{1}, l_{2}

依次为（　　）。

答案

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记内积为 $⟨ x, y ⟩ = x^{T} y$ 。由 $β_{1} = α_{1} = (1, 0, 1)^{T}$ 、 $β_{2} ⊥ β_{1}$ ，有

0 = ⟨ α_{2}, β_{1} ⟩ - k ⟨ β_{1}, β_{1} ⟩ = 2 - 2 k .

所以 $k = 1$ ，进而 $β_{2} = α_{2} - β_{1} = (0, 2, 0)^{T}$ 。
将 $β_{3} = α_{3} - l_{1} β_{1} - l_{2} β_{2}$ 分别与 $β_{1}, β_{2}$ 作内积，利用二者正交，得到

l_{1} l_{2} = \frac{⟨ α _{3} , β _{1} ⟩}{⟨ β _{1} , β _{1} ⟩} = \frac{5}{2}, = \frac{⟨ α _{3} , β _{2} ⟩}{⟨ β _{2} , β _{2} ⟩} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} .

代回有 $β_{3} = (\frac{1}{2}, 0, - \frac{1}{2})^{T}$ ，确与 $β_{1}, β_{2}$ 都正交，选 A。求 $l_{2}$ 时要用已经正交化的 $β_{2}$ ，不能仍用原来的 $α_{2}$ 。