记事件的示性变量为 $I_A,I_B$，则 $X=2I_A-1$、$Y=2I_B-1$。因此

故 $X,Y$ 不相关当且仅当 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$，即 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。这恰好是事件 $A,B$ 相互独立的充分必要条件，命题得证。