在 $f(\frac{1}{x})={\int }_1^{\frac{1}{x}}\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t$ 中令 $t=\frac{1}{u}$，则

与 $f(x)$ 相加后，

由于 $x>0$，积分结果为 $\frac{1}{2}(\ln x{)}^2$。