由向量组（I）的秩为 $3$，知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关。由向量组（II）的秩仍为 $3$，知 ${\alpha }_4\in \mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}$。

向量组（III）的秩为 $4$，所以 ${\alpha }_5\notin \mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}$。若 ${\alpha }_5-{\alpha }_4$ 属于该生成空间，则加上同样属于该空间的 ${\alpha }_4$ 会推出 ${\alpha }_5$ 也属于该空间，矛盾。

故 ${\alpha }_5-{\alpha }_4$ 不在前三个向量的生成空间中，它与线性无关的 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 合在一起仍线性无关，因此所求向量组的秩为 $4$。