由 $f^{\prime }(a)f^{\prime }(b)>0$，两端导数同号且均非零。记其共同符号为 $s$。

由端点导数定义，可在 $a$ 的右侧取 $c$ 使 $f(c)$ 的符号为 $s$；也可在 $b$ 的左侧取 $d$ 使 $f(d)$ 的符号为 $-s$。

于是 $f(c)f(d)<0$。由连续性和介值定理，存在 $\xi \in (c,d)\subset (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$。

由第（1）问，$f(a)=f(\xi )=f(b)=0$。在 $[a,\xi ]$ 和 $[\xi ,b]$ 上分别应用罗尔定理，存在 $u\in (a,\xi )$、$v\in (\xi ,b)$ 使 $f^{\prime }(u)=f^{\prime }(v)=0$。

由于 $f$ 具有二阶导数，$f^{\prime }$ 在 $[u,v]$ 上连续、在 $(u,v)$ 内可导。再对 $f^{\prime }$ 应用罗尔定理，存在 $\eta \in (u,v)\subset (a,b)$ 使 $f^{\prime \prime }(\eta )=0$。