2006 · 数学一 · 第 10 题 · 选择题

设

f (x, y)

与

φ (x, y)

均为可微函数，且

φ_{y}^{'} (x, y) \neq = 0

。已知

(x_{0}, y_{0})

是

f (x, y)

在约束条件

φ (x, y) = 0

下的一个极值点，下列选项正确的是（　　）。

A
若 $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0$ ，则 $f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0$
B
若 $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0$ ，则 $f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq = 0$
C
若 $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq = 0$ ，则 $f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0$
D
若 $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq = 0$ ，则 $f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq = 0$
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答案

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由题设 $φ (x, y)$ 可微且在邻域内 $φ_{y}^{'} (x, y) \neq = 0$ ，约束在 $(x_{0}, y_{0})$ 附近可写成可微函数 $y = g (x)$ ，且 $g^{'} = - \frac{φ _{x}}{φ _{y}}$ 。约束极值给出

f_{x} + f_{y} g^{'} = 0 ⟹ φ_{y} f_{x} - φ_{x} f_{y} = 0.

若 $f_{x} \neq = 0$ 而 $f_{y} = 0$ ，上式将推出 $φ_{y} f_{x} = 0$ ，与 $φ_{y} \neq = 0$ 矛盾。因此必有 $f_{y} \neq = 0$ ，选 D。