注意

$$\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{(1+{\mathrm{e}}^{-x}{)}^2}=\frac{{\mathrm{e}}^x}{(1+{\mathrm{e}}^x{)}^2}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^x}.$$

因此分部积分得

$${\int }_0^{\infty }\frac{x{\mathrm{e}}^{-x}}{(1+{\mathrm{e}}^{-x}{)}^2}\mathrm{d}x={\left[-\frac{x}{1+{\mathrm{e}}^x}\right]}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1+{\mathrm{e}}^x}.$$

边界项为零，而令 $t={\mathrm{e}}^{-x}$ 可得后一个积分为 ${\int }_0^1(1+t{)}^{-1}\mathrm{d}t=\ln 2$。