由 ${\alpha }_3={\alpha }_1+2{\alpha }_2$，三列线性相关，故 $r(A)\le 2$、$|A|=0$，于是 $0$ 是 $A$ 的特征值。三个特征值互不相同，因此另外两个特征值 ${\lambda }_2,{\lambda }_3$ 均非零。
互异特征值保证 $A$ 可对角化，存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(0,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$。可逆变换不改变秩，右侧恰有两个非零对角元，所以 $r(A)=2$。

由列关系知 $r(A)\le 2$，所以 $0$ 是特征值。由于三个特征值互异，$0$ 的代数重数为 $1$，其特征空间维数不超过 $1$，即 $3-r(A)\le 1$。于是 $r(A)\ge 2$，结合上界得 $r(A)=2$。

列关系改写为 $A(1,2,-1{)}^T=0$。由第一问 $r(A)=2$，齐次方程 $Ax=0$ 的解空间只有一维，因此非零向量 $\xi =(1,2,-1{)}^T$ 构成基础解系。
又 $\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=A(1,1,1{)}^T$，故 $\eta =(1,1,1{)}^T$ 是非齐次方程的一个特解。由解的结构，通解为

所有这些向量均满足 $Ax=\beta$；反之，任一解与 $\eta$ 之差都在一维零空间中，所以已经包含全部解。