矩阵 $A$ 对称且可逆，$A^{\ast }=\det (A)A^{-1}$。因此若 $A^{\ast }\alpha =\lambda \alpha$，则 $A\alpha =\mu \alpha$，其中 $\mu =\frac{\det (A)}{\lambda }$。

计算 $A\alpha =(3+b,2+2b,a+b+1{)}^T$，与 $\mu (1,b,1{)}^T$ 比较得 $\mu =3+b$、$2+2b=b(3+b)$、$a+b+1=3+b$。

由第二式得 $b^2+b-2=0$，所以 $b=1$ 或 $b=-2$；第三式给出 $a=2$。此时 $\det (A)=4$。

若 $b=1$，则 $\mu =4$，故 $\lambda =\frac{4}{4}=1$；若 $b=-2$，则 $\mu =1$，故 $\lambda =\frac{4}{1}=4$。