2023 · 数学一 · 第 5 题 · 选择题

（1）求 $r_{1}$ 。右乘可逆分块矩阵 $(E - B C O E)$ ，得到

(O B C A E) (E - B C O E) = (- A B C O A E) = (O O A E) .

最后一步使用 $A B C = O$ 。右侧仅有最后 $n$ 列可能非零，同时含单位块 $E$ ，故其秩为 $n$ ，即 $r_{1} = n$ 。

（2）求 $r_{2}$ 。将第二块行左乘 $- C$ 加到第一块行，相当于左乘可逆矩阵 $(E O - C E)$ ，可把 $(A B O C E)$ 化为 $diag (A B, E)$ ，因此 $r_{2} = n + r (A B)$ 。

（3）求 $r_{3}$ 。先用第一块行消去左下块 $A B$ ，再用第一块列消去右上块 $A B$ ，即

(E - A B O E) (E A B A B O) = (E O A B - (A B)^{2}), (E O A B - (A B)^{2}) (E O - A B E) = (E O O - (A B)^{2}) .

两侧所乘矩阵均可逆，故 $r_{3} = n + r ((A B)^{2})$ 。

（4）比较。由 $0 \leq r ((A B)^{2}) \leq r (A B)$ ，得 $r_{1} \leq r_{3} \leq r_{2}$ ，选 B。为排除其余关系，取 $n = 2$ ：若 $A = B = E, C = O$ ，则 $(r_{1}, r_{2}, r_{3}) = (2, 4, 4)$ ，否定 C、D；若 $A = E, B = C = (0010)$ ，则 $A B C = O$ 且 $(r_{1}, r_{2}, r_{3}) = (2, 3, 2)$ ，否定 A。

答案