令 $t=x^2$。系数趋于 $1$，故收敛半径给出 $|x|<1$。在 $x=\pm 1$ 时通项不趋于 $0$，所以收敛区间为 $(-1,1)$。

利用 $\frac{1}{n(2n-1)}=-\frac{1}{n}+\frac{2}{2n-1}$，原级数的和为

在 $|x|<1$ 内，三项分别为 $\frac{x^2}{1+x^2}$、$-\ln (1+x^2)$ 和 $2x\arctan x$，故 $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}-\ln (1+x^2)+2x\arctan x$。