由 $x=t^2+2t$ 和 $x=3$，得 $(t+1{)}^2=4$。由于 $\ln (1+t)$ 要求 $t>-1$，故取 $t=1$，对应点为 $(3,\ln 2)$。

参数方程给出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{1}{(1+t)}}{2t+2}=\frac{1}{2(1+t{)}^2}$，所以该点切线斜率为 $\frac{1}{8}$，法线斜率为 $-8$。

法线方程为 $y-\ln 2=-8(x-3)$。令 $y=0$，得到横坐标 $x=3+\frac{1}{8}\ln 2$，对应选项 A。