原方程左端满足 $y{y}^{\prime \prime }+(y^{\prime }{)}^2=(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }$，故 $y{y}^{\prime }=C$。

由 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$，得 $C=\frac{1}{2}$。于是 $(y^2{)}^{\prime }=2y{y}^{\prime }=1$，积分并用 $y(0)=1$ 得 $y^2=1+x$。

由于初值给出 $y(0)=1$，应取正支，所以特解为 $y=\sqrt{1+x}$（在包含 $0$ 的区间 $x>-1$ 上）。