1999 · 数学二 · 第 19 题 · 解答题

设矩阵

A = 1 - 1 1 11 - 1 - 1 11

，矩阵

X

满足

A^{*} X = A^{- 1} + 2 X

，其中

A^{*}

是

A

的伴随矩阵，求矩阵

X

。

答案

$X = \frac{1}{4} 101110011$

直接计算得 $det A = 4$ ，故 $A$ 可逆且 $A A^{*} = 4 I$ 。在原方程左侧同乘 $A$ ，得到

4 X = I + 2 A X, 2 (2 I - A) X = I .

注意

2 I - A = 11 - 1 - 1 11 1 - 1 1 = A^{T} .

它的逆矩阵为

(2 I - A)^{- 1} = \frac{1}{2} 101110011 .

因此

X = \frac{1}{2} (2 I - A)^{- 1} = \frac{1}{4} 101110011 .