将极坐标曲线写为参数形式$x=r(\theta )\cos \theta$、$y=r(\theta )\sin \theta$。对$\theta$求导：$x^{\prime }=r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta$，$y^{\prime }=r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta$。平方相加时交叉项抵消，得

所以极坐标弧长公式为$s={\int }_0^{\pi }\sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}d\theta$。
本题$r=e^{\theta }$，$r^{\prime }=e^{\theta }$，且$e^{\theta }>0$，于是