因 $\sqrt{5}<3<5$，$x=3$ 是区间内部的瑕点，必须分成左右两段。左段 $|x^2-9|=9-x^2$，右段 $|x^2-9|=x^2-9$。
令 $I_1={\int }_{\sqrt{5}}^3\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}dx$。由 $d(9-x^2)=-2xdx$，原函数为 $-\sqrt{9-x^2}$，故

$$I_1=\underset{b\to 3^{-}}{\lim }[-\sqrt{9-x^2}{]}_{\sqrt{5}}^b=0-(-2)=2.$$

令 $I_2={\int }_3^5\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}dx$。由 $d(x^2-9)=2xdx$，原函数为 $\sqrt{x^2-9}$，故

$$I_2=\underset{a\to 3^{+}}{\lim }[\sqrt{x^2-9}{]}_a^5=4-0=4.$$

两个单侧积分分别收敛，所以原积分为 $I_1+I_2=6$。