分母配方为 $x^2+4x+8=(x+2{)}^2+4$。

因此

$${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2+4x+8}={\frac{1}{2}\arctan \frac{x+2}{2}|}_0^{+\infty }.$$

上式等于 $\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4})=\frac{\pi }{8}$。