在 $x=y=0$ 处，方程化为 ${\mathrm{e}}^{3z}=1$，故 $z(0,0)=0$。方程左端对 $z$ 的偏导为 $3{\mathrm{e}}^{x+2y+3z}+xy$，在 $(0,0,0)$ 为 $3\ne 0$，且偏导连续，所以该隐函数在附近可微。
对原方程两边取全微分，得到

代入 $(0,0,0)$，指数因子为 $1$，乘积项均为零，故 $\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y+3\mathrm{d}z=0$，即 $\mathrm{d}z{|}_{(0,0)}=-\frac{\mathrm{d}x}{3}-\frac{2\mathrm{d}y}{3}$。乘积项应先完整求微分再代值，不能因最后为零而漏写链式求导。

令 $F={\mathrm{e}}^{x+2y+3z}+xyz-1$。由原方程先得 $z(0,0)=0$。其偏导为 $F_x={\mathrm{e}}^{x+2y+3z}+yz$、$F_y=2{\mathrm{e}}^{x+2y+3z}+xz$、$F_z=3{\mathrm{e}}^{x+2y+3z}+xy$，在 $(0,0,0)$ 处分别为 $1,2,3$。
偏导连续且 $F_z\ne 0$，由隐函数公式，$z_x(0,0)=-\frac{1}{3}$、$z_y(0,0)=-\frac{2}{3}$。所以 $\mathrm{d}z{|}_{(0,0)}=-\frac{1}{3}\mathrm{d}x-\frac{2}{3}\mathrm{d}y$。