记 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，因三向量线性无关，$P$ 可逆。将各个 $A{\alpha }_j$ 的表示系数依次作为第 $j$ 列，可写成

于是 $P^{-1}AP=B$，$A$ 与 $B$ 相似，特征多项式相同。沿 $\lambda E-B$ 第一行展开，得

二次因子 $(\lambda -1{)}^2+2$ 对实数 $\lambda$ 恒正，无实根；其两个复根为 $1\pm \sqrt{2}i$。因此 $A$ 唯一的实特征值为 $2$。系数须按列排列，而题设的三个基向量本身不必是特征向量。