当 $|x|<1$ 时，$x^{2n}\to 0$，所以 $f(x)=1+x$；当 $|x|>1$ 时，$x^{2n}\to +\infty$，所以 $f(x)=0$。

在 $x=-1$ 处，各项均为 $0$，且左右极限都为 $0$，故连续。在 $x=1$ 处，$f(1)=1$，但左极限为 $2$、右极限为 $0$，故 $x=1$ 是间断点。应选 B。