由 $|A|=3\ne 0$、$|B|=2\ne 0$，可知 $A,B$ 都可逆。为联系已知的 $A^{-1}+B$，保持矩阵乘法次序，有

因此由行列式乘法定理，

这里用到 $|B^{-1}|=\frac{1}{|B|}$；行列式不能直接对矩阵加法拆分。

以 $|E+AB|$ 为中间量。由 $A^{-1}+B=A^{-1}(E+AB)$，得到 $2=\frac{1}{3}|E+AB|$，故 $|E+AB|=6$。再由 $A+B^{-1}=(AB+E)B^{-1}$，有 $|A+B^{-1}|=6\cdot \frac{1}{2}=3$。两个分解都保持原矩阵乘法顺序，无须假设 $AB=BA$。