定义域为 $(0,+\infty )$，$f^{\prime }(x)=a-\frac{b}{x}$。若 $b\le 0$，则 $f^{\prime }(x)>0$，函数严格递增，至多有一个零点，故有两个零点必需 $b>0$。
当 $b>0$ 时，$f^{\prime }$ 在 $(0,\frac{b}{a})$ 上为负，在 $(\frac{b}{a},+\infty )$ 上为正，所以 $x=\frac{b}{a}$ 是唯一最小值点。又

后一个极限用到 $\frac{\ln x}{x}\to 0$ 和 $a>0$。由连续性和两段严格单调性，恰有两个零点等价于最小值严格小于零：

因 $b>0$，这等价于 $\ln (\frac{b}{a})>1$，即 $\frac{b}{a}>e$。若最小值为零仅有一个零点，大于零则无零点。因此所求范围为 $(e,+\infty )$，选 A。

若 $b\le 0$，$f^{\prime }(x)=a-\frac{b}{x}>0$，不可能有两个零点。故只需考虑 $b>0$。此时方程 $ax-b\ln x=0$ 等价于 $\frac{\ln x}{x}=\frac{a}{b}>0$。
令 $h(x)=\frac{\ln x}{x}$，则 $h^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$，所以 $h$ 在 $(0,e)$ 上严格递增，在 $(e,+\infty )$ 上严格递减。又 $h(1)=0$、$h(e)=\frac{1}{e}$，且 $h(x)\to 0$（$x\to +\infty$），$x\le 1$ 时 $h(x)\le 0$。
因此正水平线 $y=\frac{a}{b}$ 与图像有两个交点，当且仅当 $0<\frac{a}{b}<\frac{1}{e}$：分别在 $(1,e)$、$(e,+\infty )$ 内各一个。取正数倒数，得到 $\frac{b}{a}>e$，选 A。