若 $f$ 为奇函数，则 $\frac{d}{dx}F(-x)=-f(-x)=f(x)=F^{\prime }(x)$，所以 $F(x)-F(-x)$ 为常数；令 $x=0$ 可知该常数为零，故任一原函数 $F$ 都是偶函数。A 正确。

偶函数的原函数可因加常数而不为奇函数；周期函数的原函数仅在一个周期积分为零时才可能周期；$f$ 单调增也不保证 $f\ge 0$，因而不保证 $F$ 单调增。