2021 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

在区间

(0, 2)

上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为

X

，较长一段的长度为

Y

，令

Z = \frac{Y}{X}

。

(1) 求 $X$ 的概率密度；
(2) 求 $Z$ 的概率密度；
(3) 求 $E (\frac{X}{Y})$ 。

答案

第 1 问

f_{X} (x) = {1, 0, 0 < x < 1, 其他 .

第 2 问

f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{( z + 1 ) ^{2}}, 0, z > 1, z \leq 1.

第 3 问

$2 ln 2 - 1$

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第 1 问

设分点坐标为 $T \sim U (0, 2)$ ，则 $X = min {T, 2 - T}$ ， $Y = 2 - X$ 。除概率为零的中点外， $0 < X < 1$ 。
对 $0 < x < 1$ ，事件 $X \leq x$ 等价于 $T \leq x$ 或 $T \geq 2 - x$ ，两部分互斥，各占长度 $x$ ，因此

F_{X} (x) = \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = x .

当 $x \leq 0$ 时分布函数为 $0$ ， $x \geq 1$ 时为 $1$ 。求导可取密度

f_{X} (x) = {1, 0, 0 < x < 1, 其他 .

即 $X \sim U (0, 1)$ ，端点的密度取值不影响分布。

第 2 问

由 $Y = 2 - X$ ，得 $Z = \frac{Y}{X} = \frac{2}{X} - 1$ ，故 $Z > 1$ 几乎必然成立。当 $z \leq 1$ 时 $F_{Z} (z) = 0$ ；当 $z > 1$ 时，由 $X > 0$ ，

F_{Z} (z) = P {\frac{2}{X} - 1 \leq z} = P {X \geq \frac{2}{( z + 1 )}} = 1 - \frac{2}{z + 1} .

其中 $\frac{2}{( z + 1 )} \in (0, 1)$ ，且 $X$ 连续。求导得到

f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{( z + 1 ) ^{2}}, 0, z > 1, z \leq 1.

其在 $(1, + \infty)$ 上积分为 $[- \frac{2}{( z + 1 )}]_{1}^{+ \infty} = 1$ 。

第 3 问

不必先求比值分布，直接利用 $\frac{X}{Y} = \frac{X}{( 2 - X )}$ 及 $f_{X} (x) = 1$ （ $0 < x < 1$ ），得

E (\frac{X}{Y}) = \int_{0}^{1} \frac{x}{2 - x} d x = \int_{0}^{1} (- 1 + \frac{2}{2 - x}) d x = [- x - 2 ln (2 - x)]_{0}^{1} = 2 ln 2 - 1.

分母在该区间上至少为 $1$ ，积分有限。期望的商一般不等于商的期望，不能改用 $\frac{E ( X )}{E ( Y )}$ 。

也可利用 $\frac{X}{Y} = \frac{1}{Z}$ 。由第二问密度，

E (\frac{X}{Y}) = \int_{1}^{+ \infty} \frac{2}{z ( z + 1 ) ^{2}} d z .

部分分式分解为 $\frac{1}{[ z ( z + 1 ) ^{2} ]} = \frac{1}{z} - \frac{1}{( z + 1 )} - \frac{1}{( z + 1 ) ^{2}}$ ，故

E (\frac{X}{Y}) = 2 [ln \frac{z}{z + 1} + \frac{1}{z + 1}]_{1}^{+ \infty} = 2 [0 - (- ln 2 + \frac{1}{2})] = 2 ln 2 - 1.