先令 $u=t^n$，有 $t^{n-1}\mathrm{d}t=\frac{1}{n}\mathrm{d}u$，上下限由 $0,x$ 变为 $0,x^n$。再令 $v=x^n-u$，得到

由 $f$ 在零点可导及 $f(0)=0$，可写成 $f(v)=f^{\prime }(0)v+v\epsilon (v)$，其中 $\epsilon (v)\to 0$。对任意 $\delta >0$，当 $|v|$ 充分小时有 $|\epsilon (v)|\le \delta$，故对充分小的 $x$，

除以 $x^{2n}$ 后令 $x\to 0$，再由 $\delta$ 的任意性，得到所要证明的极限。