当 $x\to 0$ 时，

$$\cos x-1=-\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$

因而

$$\mathrm{e}-{\mathrm{e}}^{\cos x}=\mathrm{e}(1-{\mathrm{e}}^{\cos x-1})=\frac{\mathrm{e}}{2}{x}^2+o(x^2).$$

同时

$$(1+x^2{)}^{\frac{1}{3}}-1=\frac{x^2}{3}+o(x^2).$$

所以原极限为

$$\frac{\frac{\mathrm{e}}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{3\mathrm{e}}{2}.$$