记 $S=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$。三个三维向量线性无关，故 $S$ 可逆。由 $(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=AS$，以及右乘可逆矩阵不改变秩，所求秩为 $r(AS)=r(A)$。
对 $A$ 先作第二行减第一行，再作第三行减新的第二行，得

因此 $r(A)=2$，所求为 $2$。也可观察第二行等于第一、三行之和，而左上角二阶子式为 $1$，故秩恰为 $2$。原向量无关并不保证经奇异矩阵 $A$ 作用后仍无关。