2004 · 数学二 · 第 21 题 · 解答题

设

z = f (x^{2} - y^{2}, e^{x y})

，其中

f

具有连续二阶偏导数，求

\frac{\partial z}{\partial x}

，

\frac{\partial z}{\partial y}

，

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

答案

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x f_{u} + y e^{x y} f_{v}$ ； $\frac{\partial z}{\partial y} = - 2 y f_{u} + x e^{x y} f_{v}$ ； $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = - 4 x y f_{uu} + 2 (x^{2} - y^{2}) e^{x y} f_{uv} + x y e^{2 x y} f_{v v} + (1 + x y) e^{x y} f_{v}$ ，其中各阶偏导均在点 $(u, v) = (x^{2} - y^{2}, e^{x y})$ 处取值。

解析

令 $u = x^{2} - y^{2}$ 、 $v = e^{x y}$ ，则 $z = f (u, v)$ ，并且 $u_{x} = 2 x$ 、 $u_{y} = - 2 y$ 、 $v_{x} = y e^{x y}$ 、 $v_{y} = x e^{x y}$ 。

由链式法则， $z_{x} = f_{u} u_{x} + f_{v} v_{x} = 2 x f_{u} + y e^{x y} f_{v}$ ， $z_{y} = f_{u} u_{y} + f_{v} v_{y} = - 2 y f_{u} + x e^{x y} f_{v}$ 。

再求混合偏导。由于 $u_{x y} = 0$ 、 $v_{x y} = (1 + x y) e^{x y}$ ，有 $z_{x y} = f_{uu} u_{x} u_{y} + f_{uv} (u_{x} v_{y} + v_{x} u_{y}) + f_{v v} v_{x} v_{y} + f_{u} u_{x y} + f_{v} v_{x y}$ 。

代入各项得

z_{x y} = - 4 x y f_{uu} + 2 (x^{2} - y^{2}) e^{x y} f_{uv} + x y e^{2 x y} f_{v v} + (1 + x y) e^{x y} f_{v} .

这里所有 $f$ 的偏导均在 $(u, v) = (x^{2} - y^{2}, e^{x y})$ 处取值。