记 $u=4x^2+y^2$，$P=\frac{(4x-y)}{u}$、$Q=\frac{(x+y)}{u}$。原点是唯一奇点，位于圆周 $L$ 内，不能直接对整个圆盘使用格林公式。在原点外，商法则给出

取小椭圆 ${\ell }_{\epsilon }:4x^2+y^2={\epsilon }^2$，$0<\epsilon <1$，并规定其方向为逆时针。它完全位于 $L$ 内。两条曲线之间的环域不含奇点，其正向边界为外圈 $L$ 逆时针、内圈顺时针；由格林公式及 $Q_x-P_y=0$，得

这里用的是环域上的边界积分关系，不能由偏导相等便断言整个去掉原点的平面内积分与路径无关。
在小椭圆上 $u={\epsilon }^2$，所以

分子中的函数为多项式，可在整个小椭圆盘上用格林公式；对应偏导差为 $1-(-1)=2$。小椭圆半轴为 $\frac{\epsilon }{2},\epsilon$，面积 $\frac{\pi {\epsilon }^2}{2}$，故 $I={\epsilon }^{-2}\cdot 2\cdot \frac{\pi {\epsilon }^2}{2}=\pi$。