2006 · 数学一 · 第 8 题 · 选择题

设

f (x, y)

为连续函数，则

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{1} f (r cos θ, r sin θ) r d r

等于（　　）。

答案

查看解析展开

积分区域在极坐标中为 $0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$ ；换成直角坐标后，对固定的 $y$ 有 $0 \leq y \leq \frac{2}{2}$ ，且 $y \leq x \leq 1 - y^{2}$ 。

因此积分可写为

\int_{0}^{\frac{2}{2}} d y \int_{y}^{1 - y^{2}} f (x, y) d x,

这正是选项 C。