第 1 空：

反复使用乘积求导可得 $f^{(n)}(x)=(x+n){\mathrm{e}}^x$。

于是 $(f^{(n)}{)}^{\prime }(x)=(x+n+1){\mathrm{e}}^x$，其唯一驻点为 $x=-(n+1)$。该导数在驻点左侧为负、右侧为正，因此这里取得极小值。

第 2 空：

由第一个空求得的极小点及高阶导数公式，将 $x=-(n+1)$ 代入 $f^{(n)}(x)=(x+n){\mathrm{e}}^x$，得极小值 $-{\mathrm{e}}^{-(n+1)}$。