1993 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

作半径为

r

的球的外切正圆锥。

答案

$h = 4 r$

$V_{m i n} = \frac{8 π r ^{3}}{3}$

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设圆锥底面半径为 $R$ ，母线长为 $l = R^{2} + h^{2}$ 。轴截面是底为 $2 R$ 、高为 $h$ 的等腰三角形，其内切圆半径为 $r$ ，故

r = \frac{R h}{R + l} .

由 $r (R + l) = R h$ 化简并平方，得到

R^{2} = \frac{r ^{2} h}{h - 2 r}, h > 2 r .

于是

V (h) = \frac{1}{3} π R^{2} h = \frac{π r ^{2}}{3} \frac{h ^{2}}{h - 2 r} .

求导得

V^{'} (h) = \frac{π r ^{2}}{3} \frac{h ( h - 4 r )}{( h - 2 r ) ^{2}} .

在 $2 r < h < 4 r$ 时导数为负，在 $h > 4 r$ 时导数为正，因此唯一最小点为 $h = 4 r$ 。

将 $h = 4 r$ 代入

V (h) = \frac{π r ^{2}}{3} \frac{h ^{2}}{h - 2 r},

得到

V_{m i n} = \frac{π r ^{2}}{3} \cdot \frac{16 r ^{2}}{2 r} = \frac{8 π r ^{3}}{3} .