二次型的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$。各行元素之和均为 $5$，故 $A(1,1,1{)}^T=5(1,1,1{)}^T$，$5$ 是一个特征值。又 $A+E$ 的每个元素均为 $2$，秩为 $1$，所以 $(A+E)x=0$ 的解空间维数为 $2$，即 $-1$ 有两个线性无关的特征向量。因此全部特征值为 $5,-1,-1$。
$A$ 实对称，存在正交矩阵 $Q$ 使 $Q^{T}AQ=\mathrm{diag}(5,-1,-1)$。令 $x=Qy$，方程化为

即 $\frac{y_1^2}{\frac{2}{5}}-\frac{y_2^2}{2}-\frac{y_3^2}{2}=1$，为双叶双曲面。也可由 $y_1^2=\frac{(2+y_2^2+y_3^2)}{5}\ge \frac{2}{5}$ 看出曲面分成 $y_1>0$ 与 $y_1<0$ 两个不连通部分。正交变换保持长度和角度，因此原曲面也是双叶双曲面，选 B。
右端为正时，单叶双曲面的三个平方项应为两正一负，椭球面应全部为正；本题一正两负，均不符合。三个特征值都非零，标准形不缺变量，也不是柱面。